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Puissances et racines carrees

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Puissances et racines carrees

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Cours

Puissances d'un nombre

Definition

Soit $a$ un nombre reel et $n$ un entier relatif.

Puissance d'un nombre

Pour un nombre $a \in \mathbb{R}$ et un entier $n \in \mathbb{Z}$ , on definit la puissance $a^n$ selon trois cas :

Si $n > 0$ : $a^n$ est le produit de $n$ facteurs egaux a $a$

$a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

Si $n = 0$ et $a \neq 0$ : $a^0 = 1$
Si $n < 0$ et $a \neq 0$ : $a^n$

Exemples

Exemples de calculs

Avec un exposant positif :

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
$5^2 = 5 \times 5 = 25$
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Avec l'exposant zero :

$7^0 = 1$
$(-5)^0 = 1$
$\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1$

Avec un exposant negatif :

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$

Points importants

Attention

Cas particuliers et restrictions :

$0^0$ est indetermine : on ne peut pas definir $0^0$ dans ce contexte.
Exposant negatif : $a^{-n}$ n'existe que si $a \neq 0$ , car on ne peut pas diviser par zero.
Signe du resultat :
- Si $a > 0$ : $a^n > 0$ pour tout $n$
- Si $a < 0$ et $n$ est pair : $a^n > 0$
- Si $a < 0$ et $n$ est impair : $a^n < 0$

Remarque

Les puissances permettent d'ecrire de maniere compacte des produits repetes. Par exemple, $1\,000\,000 = 10^6$ est beaucoup plus simple a ecrire et manipuler.