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Equations, inequations et encadrements

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Equations, inequations et encadrements

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Cours

Equations et inequations avec valeur absolue

Equations avec valeur absolue

Equation |x| = a

Soit $a$ un nombre reel.

Si $a < 0$ : l'equation $|x| = a$ n'a pas de solution (car $|x| \geq 0$ toujours)
Si $a = 0$ : l'equation $|x| = 0$ a une seule solution : $x = 0$
Si $a > 0$ : l'equation $|x| = a$ a deux solutions : $x = a$ ou $x = -a$

Resoudre |x| = 5

L'equation $|x| = 5$ a deux solutions :

$x = 5 \quad \text{ou} \quad x = -5$

On peut verifier : $|5| = 5$ et $|-5| = 5$ .

Attention

L'equation $|x| = -3$ n'a pas de solution car une valeur absolue ne peut jamais etre negative.

Equation |x - c| = a

Pour resoudre $|x - c| = a$ avec $a > 0$ :

$|x - c| = a \Leftrightarrow x - c = a \text{ ou } x - c = -a$

$\Leftrightarrow x = c + a \text{ ou } x = c - a$

Resoudre |x - 3| = 2

$|x - 3| = 2$

$\Leftrightarrow x - 3 = 2 \text{ ou } x - 3 = -2$

$\Leftrightarrow x = 5 \text{ ou } x = 1$

Les solutions sont $x = 1$ et $x = 5$ .

Inequations avec valeur absolue

Inequation |x| < a

Soit $a > 0$ . L'inequation $|x| < a$ est equivalente a :

$-a < x < a$

Autrement dit : $x \in ]-a, a[$ .

Resoudre |x| < 3

$|x| < 3 \Leftrightarrow -3 < x < 3$

Les solutions forment l'intervalle $]-3, 3[$ .

Inequation |x| > a

Soit $a > 0$ . L'inequation $|x| > a$ est equivalente a :

$x < -a \text{ ou } x > a$

Autrement dit : $x \in ]-\infty, -a[ \cup ]a, +\infty[$ .

Resoudre |x| > 4

$|x| > 4 \Leftrightarrow x < -4 \text{ ou } x > 4$

Les solutions sont $x \in ]-\infty, -4[ \cup ]4, +\infty[$ .

Cas general avec translation

Inequation |x - c| < a

Pour $a > 0$ , l'inequation $|x - c| < a$ signifie que $x$ est a une distance inferieure a $a$ du point $c$ :

$|x - c| < a \Leftrightarrow c - a < x < c + a$

Autrement dit : $x \in ]c - a, c + a[$ .

Resoudre |x - 3| < 2

$|x - 3| < 2 \Leftrightarrow 3 - 2 < x < 3 + 2$

$\Leftrightarrow 1 < x < 5$

Les solutions sont $x \in ]1, 5[$ .

Interpretation geometrique : on cherche les points $x$ dont la distance au point $3$ est inferieure a $2$ .

Inequation |x - c| > a

Pour $a > 0$ :

$|x - c| > a \Leftrightarrow x < c - a \text{ ou } x > c + a$

Autrement dit : $x \in ]-\infty, c - a[ \cup ]c + a, +\infty[$ .

Remarque

Les inequations avec $\leq$ ou $\geq$ se traitent de la meme facon, en remplacant les crochets ouverts par des crochets fermes dans les intervalles.

Par exemple : $|x| \leq a \Leftrightarrow -a \leq x \leq a$ , soit $x \in [-a, a]$ .