Introduction
Le quart de tour possede des proprietes de conservation importantes qui le caracterisent comme une isometrie (transformation qui preserve les distances).
Conservation des distances
Conservation des distances Le quart de tour conserve les distances entre les points.
Si A ′ A' A ′ B ′ B' B ′ A A A B B B
A B = A ′ B ′ AB = A'B' A B = A ′ B ′
Cette propriete implique que :
L'image d'un segment [ A B ] [AB] [ A B ] [ A ′ B ′ ] [A'B'] [ A ′ B ′ ] meme longueur .
L'image d'un cercle de rayon r r r meme rayon r r r
Conservation des angles
Le quart de tour conserve les mesures des angles .
Si A ′ A' A ′ B ′ B' B ′ C ′ C' C ′ A A A B B B C C C
A B C ^ = A ′ B ′ C ′ ^ \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} A BC = A ′ B ′ C ′
En particulier, l'image d'un angle droit est un angle droit.
Conservation de l'alignement
Conservation de l'alignement Si trois points A A A B B B C C C alignes , leurs images A ′ A' A ′ B ′ B' B ′ C ′ C' C ′ alignees .
Ainsi, l'image d'une droite est une droite.
Perpendicularite et parallelisme
Transformation des droites perpendiculaires et paralleles Par un quart de tour :
Deux droites perpendiculaires ont pour images deux droites perpendiculaires .
Deux droites paralleles ont pour images deux droites paralleles .
Image des figures usuelles
Point invariant
Le seul point invariant par un quart de tour de centre O O O centre O O O .
En effet, si M ′ = M M' = M M ′ = M O M = O M ′ OM = OM' OM = O M ′ ( O M → , O M ′ → ) (\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM'}) ( OM , O M ′ ) M = O M = O M = O
Recapitulatif
Le quart de tour est une isometrie qui conserve :
Les distances
Les angles
L'alignement
Le parallelisme
La perpendicularite