Intuition

Imaginons une courbe continue qui passe d'une valeur positive a une valeur negative. Pour aller de l'une a l'autre sans lever le crayon, elle doit croiser l'axe des abscisses.

C'est exactement ce que dit le theoreme des valeurs intermediaires : une fonction continue ne peut pas "sauter" par-dessus une valeur.

Le theoreme

Corollaire : zeros d'une fonction

Unicite : le cas strictement monotone

Methode d'application

Pour montrer qu'une equation $f(x) = 0$ admet une solution dans $[a, b]$ :

1. Verifier que $f$ est continue sur $[a, b]$
2. Calculer $f(a)$ et $f(b)$
3. Verifier que $f(a) \times f(b) < 0$ (signes contraires)
4. Conclure par le TVI

Affiner par dichotomie

Une fois l'existence etablie, on peut affiner l'encadrement en coupant l'intervalle en deux a chaque etape.