Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $[0;1]$ (polynome). $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. Par le TVI, il existe $c \in ]0;1[$ tel que $f(c) = 0$. De plus, $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ donc $f$ est strictement croissante, d'ou l'unicite.