1. Continuité en $x = 1$

Pour montrer que $f$ est continue en $1$, il faut vérifier que :

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

• Limite à gauche : pour $x < 1$, $f(x) = x^2 + 1$, donc :

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$

• Limite à droite : pour $x > 1$, $f(x) = 3x - 1$, donc :

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \times 1 - 1 = 2$

• Valeur en 1 : puisque $1 \leq 1$, on utilise la première expression :

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

On a bien : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$.

Donc $f$ est continue en $1$.

2. Calcul de $f'_g(1)$ et $f'_d(1)$

Dérivée à gauche :

$f'_g(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

Pour $h < 0$, on a $1 + h < 1$, donc $f(1+h) = (1+h)^2 + 1$.

$f'_g(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 + 1 - 2}{h}$

$= \lim_{h \to 0^-} \frac{1 + 2h + h^2 + 1 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + h^2}{h}$

$= \lim_{h \to 0^-} (2 + h) = 2$

Dérivée à droite :

$f'_d(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

Pour $h > 0$, on a $1 + h > 1$, donc $f(1+h) = 3(1+h) - 1$.

$f'_d(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{3(1+h) - 1 - 2}{h}$

$= \lim_{h \to 0^+} \frac{3 + 3h - 1 - 2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h}{h}$

$= \lim_{h \to 0^+} 3 = 3$

3. Dérivabilité en $x = 1$

Pour que $f$ soit dérivable en $1$, il faut que $f'_g(1) = f'_d(1)$.

Or : $f'_g(1) = 2 \neq 3 = f'_d(1)$

Donc $f$ n'est pas dérivable en $x = 1$.

4. Interprétation géométrique

La courbe de $f$ admet un point anguleux en $x = 1$.

Il existe deux demi-tangentes :

• À gauche : pente $f'_g(1) = 2$
• À droite : pente $f'_d(1) = 3$

Ces deux demi-tangentes ne sont pas alignées, d'où l'absence de tangente unique et donc l'absence de dérivabilité.