1. Ensemble de définition et limites

Le dénominateur s'annule en $x = 2$, donc :

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\} = ]-\infty, 2[ \cup ]2, +\infty[$

Limites aux bornes :

• En $-\infty$ : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2} \sim \frac{x^2}{x} = x \to -\infty$

• En $+\infty$ : $f(x) \sim x \to +\infty$

• En $2^-$ : $x^2-1 \to 3$ et $x-2 \to 0^-$, donc $f(x) \to -\infty$

• En $2^+$ : $x^2-1 \to 3$ et $x-2 \to 0^+$, donc $f(x) \to +\infty$

2. Asymptote oblique

Effectuons la division euclidienne de $x^2-1$ par $x-2$ :

$x^2 - 1 = (x-2) \times q(x) + r$

Pour trouver $q(x)$, on divise :

& x & +2 \\ \hline x-2 & x^2 & -1 \\ & x^2-2x & \\ \hline & 2x & -1 \\ & 2x-4 & \\ \hline & 3 & \end{array}$$ Donc : $x^2 - 1 = (x-2)(x+2) + 3$ On peut écrire : $$f(x) = \frac{(x-2)(x+2) + 3}{x-2} = x + 2 + \frac{3}{x-2}$$ On a : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x-2} = 0$ Donc : $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x+2)] = 0$ La droite $D : y = x + 2$ est **asymptote oblique** à $C_f$ en $\pm\infty$. **3. Calcul de $f'(x)$** Méthode 1 (quotient) : Posons $u(x) = x^2-1$ et $v(x) = x-2$. $$u'(x) = 2x \quad \text{et} \quad v'(x) = 1$$ $$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2-1) \times 1}{(x-2)^2}$$ $$= \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}$$ **4. Résolution de $f'(x) = 0$** $$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \quad \text{(car } (x-2)^2 > 0\text{)}$$ Calculons le discriminant : $$\Delta = 16 - 4 = 12 = 4 \times 3$$ $$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27$$ $$x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73$$ **5. Tableau de variations** Le signe de $f'(x)$ dépend du numérateur $x^2 - 4x + 1$ (le dénominateur est toujours positif). Comme $\Delta > 0$, le trinôme est négatif entre ses racines : | $x$ | $-\infty$ | | $2-\sqrt{3}$ | | $2$ | | $2+\sqrt{3}$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|--------------|---|-----|---|--------------|---|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Calculons les valeurs aux points critiques : $$f(2-\sqrt{3}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2-1}{(2-\sqrt{3})-2} = \frac{4-4\sqrt{3}+3-1}{-\sqrt{3}} = \frac{6-4\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$$ $$= \frac{-2(3-2\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}(3-2\sqrt{3})}{3} = \frac{-6\sqrt{3}+12}{3} = 4 - 2\sqrt{3}$$ De même : $f(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$ **Tableau de variations :** | $x$ | $-\infty$ | | $2-\sqrt{3}$ | | $2$ | | $2+\sqrt{3}$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|--------------|---|-----|---|--------------|---|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $\|$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $4-2\sqrt{3}$ | $\searrow$ | $-\infty$ | | $+\infty$ | $\nearrow$ | $+\infty$ | **6. Équation de la tangente en $x = 0$** $$f(0) = \frac{0-1}{0-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$ $$f'(0) = \frac{0 - 0 + 1}{(0-2)^2} = \frac{1}{4}$$ Équation de la tangente : $$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$$ $$T : y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$$