Signe de la dérivée et variations

Théorème fondamental

Extremums locaux

Méthodologie : tableau de variations

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ :

Déterminer le domaine de définition $D_f$ et vérifier que $f$ est dérivable sur $I$
Calculer la dérivée $f'(x)$
Étudier le signe de $f'(x)$ (résoudre $f'(x) = 0$ et déterminer le signe sur chaque intervalle)
Dresser le tableau de variations avec :
- Ligne $x$ : les bornes et les valeurs qui annulent $f'$
- Ligne $f'(x)$ : le signe de la dérivée
- Ligne $f(x)$ : les variations (flèches) et les valeurs aux points remarquables
Conclure sur les intervalles de croissance/décroissance et les extremums

Exemple complet

Étude de f(x) = x³ - 3x + 1

1. Domaine : $D_f = \mathbb{R}$ , $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

2. Dérivée :

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

3. Signe de $f'$ :

$f'(x) = 0 \iff x = -1$ ou $x = 1$

Tableau de signes :

| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |-----|-----------|------|-----|-----------| | $x-1$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $x+1$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

4. Calcul des valeurs :

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$

$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$

5. Tableau de variations :

| $x$ | $-\infty$ | | $-1$ | | $1$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|------|---|-----|---|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

Conclusion :

$f$ est croissante sur $]-\infty, -1]$ et sur $[1, +\infty[$
$f$ est décroissante sur $[-1, 1]$
$f$ admet un maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = 3$
$f$ admet un minimum local en $x = 1$ : $f(1) = -1$