Dérivées de fonctions polynomiales

1. Dérivée de $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 4$

On applique les formules de dérivation :

• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(k)' = 0$ où $k$ est une constante
• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées

$f'(x) = 5 \times 3x^2 - 2 \times 2x + 7 - 0$

$f'(x) = 15x^2 - 4x + 7$

2. Dérivée de $g(x) = (x+1)(2x-3)$

Développons d'abord :

$g(x) = x \times 2x + x \times (-3) + 1 \times 2x + 1 \times (-3)$

$= 2x^2 - 3x + 2x - 3 = 2x^2 - x - 3$

Dérivons :

$g'(x) = 2 \times 2x - 1 - 0 = 4x - 1$

3. Dérivée de $h(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + x$

On peut écrire : $h(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x$

Dérivons :

$h'(x) = \frac{1}{4} \times 4x^3 - \frac{1}{3} \times 3x^2 + 1$

$h'(x) = x^3 - x^2 + 1$