Étude de variations d'un polynôme

1. Ensemble de définition

$f$ est une fonction polynomiale, donc :

$D_f = \mathbb{R}$

2. Calcul de $f'(x)$

$f'(x) = 2 \times 3x^2 - 9 \times 2x + 12$

$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12$

On peut factoriser par 6 :

$f'(x) = 6(x^2 - 3x + 2)$

3. Résolution de $f'(x) = 0$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 6(x^2 - 3x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$

Calculons le discriminant :

$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0$

Deux racines distinctes :

$x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$

4. Signe de $f'(x)$ et tableau de variations

$f'(x) = 6(x-1)(x-2)$

Le signe dépend du produit $(x-1)(x-2)$ (car $6 > 0$) :

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $2$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|-----|---|-----|---|-----------| | $x-1$ | $-$ | | $0$ | | $+$ | | $+$ | | $x-2$ | $-$ | | $-$ | | $0$ | | $+$ | | $f'(x)$ | $+$ | | $0$ | $-$ | $0$ | | $+$ |

Calculons les valeurs de $f$ aux points critiques :

$f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 3 = 2 - 9 + 12 - 3 = 2$

$f(2) = 2(8) - 9(4) + 12(2) - 3 = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$

Tableau de variations :

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $2$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|-----|---|-----|---|-----------| | $f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

5. Extremums locaux

• Maximum local en $x = 1$ : $f(1) = 2$
• Minimum local en $x = 2$ : $f(2) = 1$

6. Équation de la tangente au point d'inflexion

Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde s'annule.

Calculons $f''(x)$ :

$f''(x) = 12x - 18 = 6(2x - 3)$

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

C'est bien le point d'inflexion.

Calculons $f\left(\frac{3}{2}\right)$ :

$f\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12\left(\frac{3}{2}\right) - 3$

$= 2 \times \frac{27}{8} - 9 \times \frac{9}{4} + 18 - 3$

$= \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 15 = \frac{27 - 81 + 60}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Calculons $f'\left(\frac{3}{2}\right)$ (pente de la tangente) :

$f'\left(\frac{3}{2}\right) = 6\left(\frac{3}{2} - 1\right)\left(\frac{3}{2} - 2\right) = 6 \times \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2}$

Équation de la tangente :

$y = f'\left(\frac{3}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right) + f\left(\frac{3}{2}\right)$

$y = -\frac{3}{2}\left(x - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} + \frac{6}{4}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{15}{4}$