1. Forme canonique

Developpons $(x-2)^2 - 1$ :

$(x-2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 4 - 1 = x^2 - 4x + 3$

On a bien : $f(x) = (x-2)^2 - 1$.

2. Minimum de $f$

La forme canonique $f(x) = (x-2)^2 - 1$ montre que :

• $(x-2)^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
• $(x-2)^2 = 0 \iff x = 2$

Donc $(x-2)^2 - 1 \geq -1$ avec egalite si et seulement si $x = 2$.

Comme $2 \in [-1, 5]$, le minimum de $f$ sur $[-1, 5]$ est :

$\min f = f(2) = -1$

Le minimum est atteint pour $x = 2$.

3. Calcul des valeurs aux bornes

$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$f(5) = 5^2 - 4 \times 5 + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

4. Maximum de $f$

Sur l'intervalle ferme $[-1, 5]$, le maximum est atteint soit au minimum local (impossible ici), soit aux bornes.

On compare : $f(-1) = 8$ et $f(5) = 8$.

Le maximum de $f$ sur $[-1, 5]$ est :

$\max f = 8$

Il est atteint pour $x = -1$ et $x = 5$.

5. Tableau de variations

La fonction $f(x) = (x-2)^2 - 1$ est decroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.

Sur $[-1, 5]$ :

| $x$ | $-1$ | | $2$ | | $5$ | |----------|------|----------|-----|----------|-----| | $f(x)$ | $8$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $8$ |

6. Majorants et minorants

• La fonction $f$ admet des majorants sur $[-1, 5]$ : tout nombre $M \geq 8$ est un majorant. Le plus petit majorant (supremum) est $8$.

• La fonction $f$ admet des minorants sur $[-1, 5]$ : tout nombre $m \leq -1$ est un minorant. Le plus grand minorant (infimum) est $-1$.