Etude de parite de fonctions

a) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$

Etape 1 : Le domaine de definition est $D_f = \mathbb{R}$, qui est symetrique par rapport a 0.

Etape 2 : Calculons $f(-x)$ :

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Etape 3 : On constate que $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $f$ est paire.

---

b) $g(x) = x^3 + x$

Etape 1 : Le domaine de definition est $D_g = \mathbb{R}$, qui est symetrique par rapport a 0.

Etape 2 : Calculons $g(-x)$ :

$g(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x)$

Etape 3 : On constate que $g(-x) = -g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Conclusion : $g$ est impaire.

---

c) $h(x) = \frac{x^2+1}{x}$

Etape 1 : Le domaine de definition est $D_h = \mathbb{R}^*$, qui est symetrique par rapport a 0.

Etape 2 : Calculons $h(-x)$ :

$h(-x) = \frac{(-x)^2+1}{-x} = \frac{x^2+1}{-x} = -\frac{x^2+1}{x}$

Etape 3 : On constate que $h(-x) = -h(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.

Conclusion : $h$ est impaire.

---

d) $k(x) = x^2 + x + 1$

Etape 1 : Le domaine de definition est $D_k = \mathbb{R}$, qui est symetrique par rapport a 0.

Etape 2 : Calculons $k(-x)$ :

$k(-x) = (-x)^2 + (-x) + 1 = x^2 - x + 1$

Etape 3 : On compare :

• $k(-x) = x^2 - x + 1$
• $k(x) = x^2 + x + 1$
• $-k(x) = -x^2 - x - 1$

On a $k(-x) \neq k(x)$ et $k(-x) \neq -k(x)$.

Conclusion : $k$ est ni paire ni impaire.