Learning OS — Maths du lycée tunisien

Determiner le domaine de definition de chacune des fonctions suivantes :

a) $f(x) = \frac{x+3}{x^2-4}$

b) $g(x) = \sqrt{2x-6}$

c) $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

d) $k(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$

Voir la solution

a) $f(x) = \frac{x+3}{x^2-4}$

Le denominateur doit etre non nul. On factorise :

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

Donc $x^2 - 4 = 0 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$ .

Le domaine de definition est :

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} = ]-\infty, -2[ \cup ]-2, 2[ \cup ]2, +\infty[$

b) $g(x) = \sqrt{2x-6}$

Pour que la racine carree soit definie, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle :

$2x - 6 \geq 0 \iff 2x \geq 6 \iff x \geq 3$

Le domaine de definition est :

$D_g = [3, +\infty[$

c) $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

Il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive (car elle est au denominateur) :

$x + 3 > 0 \iff x > -3$

Le domaine de definition est :

$D_h = ]-3, +\infty[$

d) $k(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$

Il faut combiner deux conditions :

Pour la racine : $x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1$
Pour la fraction : $x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$

On prend l'intersection des deux conditions : $x \geq 1$ et $x \neq 3$ .

Le domaine de definition est :

$D_k = [1, 3[ \cup ]3, +\infty[$

Méthode

Pour determiner le domaine de definition d'une fonction :

Fractions : le denominateur doit etre non nul
Racines carrees : l'expression sous la racine doit etre positive ou nulle ( $\geq 0$ )
Racines au denominateur : l'expression sous la racine doit etre strictement positive ( $> 0$ )
Combinaison : faire l'intersection de toutes les conditions

Erreurs courantes

Oublier d'exclure les valeurs qui annulent un denominateur
Confondre $\geq 0$ (racine simple) et $> 0$ (racine au denominateur)
Pour $\sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$ , ne pas exclure $x = 3$ qui est pourtant dans $[1, +\infty[$

Determiner le domaine de definition de chacune des fonctions suivantes :

a) $f(x) = \frac{x+3}{x^2-4}$

b) $g(x) = \sqrt{2x-6}$

c) $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

d) $k(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$

Voir la solution

a) $f(x) = \frac{x+3}{x^2-4}$

Le denominateur doit etre non nul. On factorise :

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

Donc $x^2 - 4 = 0 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$ .

Le domaine de definition est :

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} = ]-\infty, -2[ \cup ]-2, 2[ \cup ]2, +\infty[$

b) $g(x) = \sqrt{2x-6}$

Pour que la racine carree soit definie, il faut que l'expression sous la racine soit positive ou nulle :

$2x - 6 \geq 0 \iff 2x \geq 6 \iff x \geq 3$

Le domaine de definition est :

$D_g = [3, +\infty[$

c) $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

Il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive (car elle est au denominateur) :

$x + 3 > 0 \iff x > -3$

Le domaine de definition est :

$D_h = ]-3, +\infty[$

d) $k(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$

Il faut combiner deux conditions :

Pour la racine : $x - 1 \geq 0 \iff x \geq 1$
Pour la fraction : $x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$

On prend l'intersection des deux conditions : $x \geq 1$ et $x \neq 3$ .

Le domaine de definition est :

$D_k = [1, 3[ \cup ]3, +\infty[$

Méthode

Pour determiner le domaine de definition d'une fonction :

Fractions : le denominateur doit etre non nul
Racines carrees : l'expression sous la racine doit etre positive ou nulle ( $\geq 0$ )
Racines au denominateur : l'expression sous la racine doit etre strictement positive ( $> 0$ )
Combinaison : faire l'intersection de toutes les conditions

Erreurs courantes

Oublier d'exclure les valeurs qui annulent un denominateur
Confondre $\geq 0$ (racine simple) et $> 0$ (racine au denominateur)
Pour $\sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$ , ne pas exclure $x = 3$ qui est pourtant dans $[1, +\infty[$

Determination de domaines de definition

Determination de domaines de definition