Calcul du nombre dérivé par définition

1. Calcul de $f'(2)$ pour $f(x) = x^2 - 3x + 1$

On utilise la définition du nombre dérivé :

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

Calculons $f(2)$ :

$f(2) = 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$

Calculons $f(2+h)$ :

$f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 1$

$= 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 1$

$= h^2 + h - 1$

Formons le taux d'accroissement :

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{h^2 + h - 1 - (-1)}{h} = \frac{h^2 + h}{h} = \frac{h(h + 1)}{h} = h + 1$

Passons à la limite :

$f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 1) = 1$

2. Calcul de $g'(1)$ pour $g(x) = \frac{1}{x+1}$

On utilise la définition :

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{g(1+h) - g(1)}{h}$

Calculons $g(1)$ :

$g(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

Calculons $g(1+h)$ :

$g(1+h) = \frac{1}{(1+h)+1} = \frac{1}{2+h}$

Formons le taux d'accroissement :

$\frac{g(1+h) - g(1)}{h} = \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \frac{\frac{-h}{2(2+h)}}{h}$

$= \frac{-h}{2(2+h)} \times \frac{1}{h} = \frac{-1}{2(2+h)}$

Passons à la limite :

$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(2+h)} = \frac{-1}{2 \times 2} = -\frac{1}{4}$