Dérivées de fonctions composées

1. Dérivée de $f(x) = (3x+1)^4$

C'est une fonction composée de la forme $(u(x))^4$ avec $u(x) = 3x + 1$.

Appliquons la formule $(u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}$ :

$u'(x) = 3$

$f'(x) = 4 \times 3 \times (3x+1)^3$

$f'(x) = 12(3x+1)^3$

2. Dérivée de $g(x) = \sqrt{2x^2-1}$

Domaine de définition :

Pour que $\sqrt{2x^2-1}$ existe, il faut que $2x^2 - 1 \geq 0$.

$2x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x^2 \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow |x| \geq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Donc : $D_g = ]-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty[$

Calcul de la dérivée :

On peut écrire $g(x) = \sqrt{u(x)}$ avec $u(x) = 2x^2 - 1$.

La formule de dérivation est $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

$u'(x) = 4x$

$g'(x) = \frac{4x}{2\sqrt{2x^2-1}} = \frac{2x}{\sqrt{2x^2-1}}$

3. Dérivée de $h(x) = \frac{1}{(2x+5)^3}$

On peut écrire $h(x) = (2x+5)^{-3} = (u(x))^{-3}$ avec $u(x) = 2x + 5$.

Appliquons $(u^n)' = n \times u' \times u^{n-1}$ avec $n = -3$ :

$u'(x) = 2$

$h'(x) = -3 \times 2 \times (2x+5)^{-4}$

$h'(x) = -6(2x+5)^{-4} = \frac{-6}{(2x+5)^4}$