Parite et deduction des variations

1. Variations de $f$ sur $[0, +\infty[$

Propriete : Une fonction paire a des variations symetriques par rapport a l'axe des ordonnees.

Plus precisement :

• Si $f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$, alors $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

Justification : Soit $0 \leq x_1 < x_2$. Alors $-x_2 < -x_1 \leq 0$.

Comme $f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$ :

$f(-x_2) \geq f(-x_1)$

Comme $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$, donc :

$f(x_2) \geq f(x_1)$

Donc $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

2. Calcul de $f(-2)$ et $f(-4)$

Comme $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

$f(-2) = f(2) = 3$

$f(-4) = f(4) = 7$

3. Comparaison de $f(-3)$ et $f(-1)$

On a $-3 < -1 \leq 0$, et $f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$.

Donc :

$f(-3) \geq f(-1)$

On sait que $f(0) = -2$ et $f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$, donc $f$ augmente quand on se deplace de 0 vers $-\infty$.

Comme $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ et que $f(0) = -2 < f(2) = 3$, on peut en deduire que $f(-1)$ est compris entre $f(0) = -2$ et $f(-2) = 3$.

Par symetrie et decroissance sur $]-\infty, 0]$ :

$f(-3) > f(-1) > f(0) = -2$

4. Tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$

| $x$ | $-\infty$ | | $-4$ | | $-2$ | | $0$ | | $2$ | | $4$ | | $+\infty$ | |----------|-----------|----------|------|----------|------|----------|-----|----------|-----|----------|-----|----------|-----------| | $f(x)$ | $+\infty$ | $\searrow$ | $7$ | $\searrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $3$ | $\nearrow$ | $7$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

5. Minimum de $f$

D'apres le tableau de variations, $f$ atteint son minimum en $x = 0$ :

$\min_{\mathbb{R}} f = f(0) = -2$