1. Le point $M$ a pour coordonnees $(x, x)$ (car il est sur la droite $y = x$).

$AM = \sqrt{(x - (-2))^2 + (x - 0)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + x^2} = \sqrt{2x^2 + 4x + 4}$

$BM = \sqrt{(x - 0)^2 + (x - 1)^2} = \sqrt{x^2 + (x - 1)^2} = \sqrt{2x^2 - 2x + 1}$

Donc $f(x) = \sqrt{2x^2 + 4x + 4} + \sqrt{2x^2 - 2x + 1}$.

2. $2x^2 + 4x + 4 = 2(x + 1)^2 + 2 > 0$ pour tout $x$, et c'est un polynome continu. Par le theoreme de $\sqrt{f}$, $\sqrt{2x^2 + 4x + 4}$ est continue en tout reel. De meme, $2x^2 - 2x + 1 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} > 0$ pour tout $x$. Par somme, $f$ est continue en tout reel.

3. Soit le point $C(1, 0)$. La droite d'equation $y = x$ est la mediatrice du segment $[BC]$, d'ou $BM = CM$. Donc $AM + BM = AM + CM$. Par l'inegalite triangulaire, $AM + CM \geq AC$, avec egalite si et seulement si $M \in [AC]$. Or $A(-2, 0)$ et $C(1, 0)$ sont sur l'axe des abscisses, et $[AC]$ coupe la droite $y = x$ en $M = O(0, 0)$. Donc le trajet $AM + BM$ est minimal pour $x = 0$.