Continuite d'une fonction par morceaux (5)

On considere la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{2x - 4} & \text{si } x \geq 2 \\ x & \text{si } x < 2 \end{cases}$

Tracer la courbe representative de $f$ dans un repere.
Justifier la continuite de $f$ sur $[2, +\infty[$ .
Justifier la continuite de $f$ sur $]-\infty, 2[$ .
Verifier, a l'aide du graphique, que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

Pour $x < 2$ : $f(x) = x$ (droite d'equation $y = x$ ). Pour $x \geq 2$ : $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ (courbe de racine).

Sur $[2, +\infty[$ , $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ . La fonction $2x - 4$ est affine, positive sur $[2, +\infty[$ , et continue. Par le theoreme de $\sqrt{f}$ (en incluant la continuite a droite en $2$ ), $f$ est continue sur $[2, +\infty[$ .
Sur $]-\infty, 2[$ , $f(x) = x$ est une fonction affine, donc continue sur $]-\infty, 2[$ .
En $x = 2$ : $f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 - 4} = 0$ . Par la gauche : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x = 2 \neq 0 = f(2)$ . Donc $f$ n'est pas continue a gauche en $2$ , donc $f$ n'est pas continue en $2$ . La fonction n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Méthode

Pour une fonction definie par morceaux : etudier la continuite sur chaque morceau separement, puis verifier la continuite aux points de raccordement en comparant les limites a gauche et a droite avec la valeur de la fonction.

On considere la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{2x - 4} & \text{si } x \geq 2 \\ x & \text{si } x < 2 \end{cases}$

Tracer la courbe representative de $f$ dans un repere.
Justifier la continuite de $f$ sur $[2, +\infty[$ .
Justifier la continuite de $f$ sur $]-\infty, 2[$ .
Verifier, a l'aide du graphique, que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

Pour $x < 2$ : $f(x) = x$ (droite d'equation $y = x$ ). Pour $x \geq 2$ : $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ (courbe de racine).

Sur $[2, +\infty[$ , $f(x) = \sqrt{2x - 4}$ . La fonction $2x - 4$ est affine, positive sur $[2, +\infty[$ , et continue. Par le theoreme de $\sqrt{f}$ (en incluant la continuite a droite en $2$ ), $f$ est continue sur $[2, +\infty[$ .
Sur $]-\infty, 2[$ , $f(x) = x$ est une fonction affine, donc continue sur $]-\infty, 2[$ .
En $x = 2$ : $f(2) = \sqrt{2 \cdot 2 - 4} = 0$ . Par la gauche : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x = 2 \neq 0 = f(2)$ . Donc $f$ n'est pas continue a gauche en $2$ , donc $f$ n'est pas continue en $2$ . La fonction n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Méthode

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