Continuite par morceaux avec 1/x (6)

On considere la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$

Tracer la courbe representative de $f$ dans un repere.
Justifier la continuite de $f$ sur $]0, +\infty[$ .
Justifier la continuite de $f$ sur $]-\infty, 0[$ .
Verifier, a l'aide du graphique, que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .
Pour chacune des equations ci-dessous, determiner, a l'aide du graphique, le nombre de solutions : $f(x) = 1$ ; $f(x) = \dfrac{2}{5}$ ; $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ ; $f(x) = 0$ .

Voir la solution

Pour $x \leq 0$ : droite horizontale $y = -1$ . Pour $x > 0$ : hyperbole $y = \dfrac{1}{x}$ .
Sur $]0, +\infty[$ , $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est une fonction rationnelle definie pour $x \neq 0$ , donc continue sur $]0, +\infty[$ .
Sur $]-\infty, 0[$ , $f(x) = -1$ est une fonction constante, donc continue sur $]-\infty, 0[$ .
En $x = 0$ : $f(0) = -1$ . Par la droite : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \neq f(0)$ . Donc $f$ n'est pas continue a droite en $0$ , donc $f$ n'est pas continue en $0$ .
$f(x) = 1$ : une solution ( $x = 1$ ). $f(x) = \dfrac{2}{5}$ : une solution ( $x = \dfrac{5}{2}$ ). $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ : pas de solution (pour $x > 0$ , $\dfrac{1}{x} > 0$ ; pour $x \leq 0$ , $f(x) = -1 \neq -\dfrac{1}{2}$ ). $f(x) = 0$ : pas de solution (pour $x > 0$ , $\dfrac{1}{x} > 0$ ; pour $x \leq 0$ , $f(x) = -1 \neq 0$ ).

Méthode

Quand une fonction par morceaux n'est pas continue en un point de raccordement, certaines equations $f(x) = k$ peuvent ne pas avoir de solution meme si $k$ est entre deux valeurs prises par $f$ (le TVI ne s'applique pas).

On considere la fonction $f$ definie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$

Tracer la courbe representative de $f$ dans un repere.
Justifier la continuite de $f$ sur $]0, +\infty[$ .
Justifier la continuite de $f$ sur $]-\infty, 0[$ .
Verifier, a l'aide du graphique, que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .
Pour chacune des equations ci-dessous, determiner, a l'aide du graphique, le nombre de solutions : $f(x) = 1$ ; $f(x) = \dfrac{2}{5}$ ; $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ ; $f(x) = 0$ .

Voir la solution

Pour $x \leq 0$ : droite horizontale $y = -1$ . Pour $x > 0$ : hyperbole $y = \dfrac{1}{x}$ .
Sur $]0, +\infty[$ , $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est une fonction rationnelle definie pour $x \neq 0$ , donc continue sur $]0, +\infty[$ .
Sur $]-\infty, 0[$ , $f(x) = -1$ est une fonction constante, donc continue sur $]-\infty, 0[$ .
En $x = 0$ : $f(0) = -1$ . Par la droite : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty \neq f(0)$ . Donc $f$ n'est pas continue a droite en $0$ , donc $f$ n'est pas continue en $0$ .
$f(x) = 1$ : une solution ( $x = 1$ ). $f(x) = \dfrac{2}{5}$ : une solution ( $x = \dfrac{5}{2}$ ). $f(x) = -\dfrac{1}{2}$ : pas de solution (pour $x > 0$ , $\dfrac{1}{x} > 0$ ; pour $x \leq 0$ , $f(x) = -1 \neq -\dfrac{1}{2}$ ). $f(x) = 0$ : pas de solution (pour $x > 0$ , $\dfrac{1}{x} > 0$ ; pour $x \leq 0$ , $f(x) = -1 \neq 0$ ).

Méthode

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