1. Pour $x \geq 2$ : $f(x) = -x^2 + 3$. On a $f(2) = -4 + 3 = -1$.

Comme $f$ est impaire : $f(-x) = -f(x)$, donc pour $x \leq -2$ (c'est-a-dire $-x \geq 2$) : $f(-x) = -(-x)^2 + 3 = -x^2 + 3$, d'ou $f(x) = -f(-x) = -(-x^2 + 3) = x^2 - 3$. On a $f(-2) = 4 - 3 = 1$. $A'(-2, 1)$ est le symetrique de $A(2, -1)$ par rapport a $O$.

$O$ est centre de symetrie pour $(C_f)$.

Sur $]-2, 0[$ : $f(x) = ax + b$. Comme $f$ est impaire : $f(0) = 0$, donc $b = 0$. Par continuite en $-2$ : $f(-2) = -2a = 1$, soit $a = -\dfrac{1}{2}$.

Donc $f(x) = -\dfrac{1}{2}x$ sur $]-2, 2[$.

2. $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 3 & \text{si } x \geq 2 \\ -\dfrac{1}{2}x & \text{si } -2 < x < 2 \\ x^2 - 3 & \text{si } x \leq -2 \end{cases}$

On peut verifier : $f$ est impaire et continue en $2$ et $-2$.