Image d'intervalles par un trinome (9)

Soit $f$ le trinome defini par $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 5$ .

On designe par $C$ sa courbe representative dans un repere orthonorme.

Tracer la courbe $C$ .
Quelles sont les images par $f$ de $2$ ; $-2$ ; $0$ ; $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{2}$ ?
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [1, 3]$ , $J = ]-2, 2[$ et $K = ]-\infty, 0]$ ?
Quels sont les antecedents eventuels par $f$ de $0$ , $7$ et $9$ ?
Determiner l'ensemble des antecedents par $f$ des reels de l'intervalle $[7, 13]$ .

Voir la solution

$f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 5$ est une parabole de sommet $(0, 5)$ ouverte vers le haut.

$f(2) = 2 + 5 = 7$ . $f(-2) = 2 + 5 = 7$ . $f(0) = 5$ . $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{13}{2}$ . $f(-\sqrt{2}) = 1 + 5 = 6$ .
$f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$ .

$f(I) = f([1, 3])$ : $f(1) = \dfrac{11}{2}$ , $f(3) = \dfrac{19}{2}$ . Sur $[1, 3]$ , $f$ est croissante, donc $f([1, 3]) = \left[\dfrac{11}{2}, \dfrac{19}{2}\right]$ .
$f(J) = f(]-2, 2[)$ : le minimum de $f$ sur cet intervalle est $f(0) = 5$ , et $f(\pm 2) = 7$ (non atteint). Donc $f(]-2, 2[) = [5, 7[$ .
$f(K) = f(]-\infty, 0])$ : $f$ decroissante sur $]-\infty, 0]$ , $f(0) = 5$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ . Donc $f(]-\infty, 0]) = [5, +\infty[$ .

$f(x) = 0$ : $\dfrac{1}{2}x^2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 = -10$ : impossible. Pas d'antecedent. $f(x) = 7$ : $\dfrac{1}{2}x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Deux antecedents. $f(x) = 9$ : $\dfrac{1}{2}x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$ . Deux antecedents.
$f(x) \in [7, 13]$ : $7 \leq \dfrac{1}{2}x^2 + 5 \leq 13 \Rightarrow 2 \leq \dfrac{1}{2}x^2 \leq 8 \Rightarrow 4 \leq x^2 \leq 16 \Rightarrow x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$ .

Méthode

Pour determiner $f(I)$ : utiliser les variations de $f$ sur $I$ , reperer les extrema atteints sur l'intervalle, et en deduire l'image. Pour les antecedents : resoudre $f(x) = k$ .

Soit $f$ le trinome defini par $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 5$ .

On designe par $C$ sa courbe representative dans un repere orthonorme.

Tracer la courbe $C$ .
Quelles sont les images par $f$ de $2$ ; $-2$ ; $0$ ; $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{2}$ ?
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [1, 3]$ , $J = ]-2, 2[$ et $K = ]-\infty, 0]$ ?
Quels sont les antecedents eventuels par $f$ de $0$ , $7$ et $9$ ?
Determiner l'ensemble des antecedents par $f$ des reels de l'intervalle $[7, 13]$ .

Voir la solution

$f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 + 5$ est une parabole de sommet $(0, 5)$ ouverte vers le haut.

$f(2) = 2 + 5 = 7$ . $f(-2) = 2 + 5 = 7$ . $f(0) = 5$ . $f(\sqrt{3}) = \dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{13}{2}$ . $f(-\sqrt{2}) = 1 + 5 = 6$ .
$f$ est decroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$ .

$f(I) = f([1, 3])$ : $f(1) = \dfrac{11}{2}$ , $f(3) = \dfrac{19}{2}$ . Sur $[1, 3]$ , $f$ est croissante, donc $f([1, 3]) = \left[\dfrac{11}{2}, \dfrac{19}{2}\right]$ .
$f(J) = f(]-2, 2[)$ : le minimum de $f$ sur cet intervalle est $f(0) = 5$ , et $f(\pm 2) = 7$ (non atteint). Donc $f(]-2, 2[) = [5, 7[$ .
$f(K) = f(]-\infty, 0])$ : $f$ decroissante sur $]-\infty, 0]$ , $f(0) = 5$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ . Donc $f(]-\infty, 0]) = [5, +\infty[$ .

$f(x) = 0$ : $\dfrac{1}{2}x^2 + 5 = 0 \Rightarrow x^2 = -10$ : impossible. Pas d'antecedent. $f(x) = 7$ : $\dfrac{1}{2}x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ . Deux antecedents. $f(x) = 9$ : $\dfrac{1}{2}x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm 2\sqrt{2}$ . Deux antecedents.
$f(x) \in [7, 13]$ : $7 \leq \dfrac{1}{2}x^2 + 5 \leq 13 \Rightarrow 2 \leq \dfrac{1}{2}x^2 \leq 8 \Rightarrow 4 \leq x^2 \leq 16 \Rightarrow x \in [-4, -2] \cup [2, 4]$ .

Méthode

Pour determiner $f(I)$ : utiliser les variations de $f$ sur $I$ , reperer les extrema atteints sur l'intervalle, et en deduire l'image. Pour les antecedents : resoudre $f(x) = k$ .

Verifier mon travail avec l'IA

Verifier mon travail avec l'IA