1. $f(x) = x^2 - 4x + 1 = (x - 2)^2 - 3$. Parabole de sommet $(2, -3)$ ouverte vers le haut.

2. $f$ est decroissante sur $]-\infty, 2]$ et croissante sur $[2, +\infty[$.

• $f(I) = f([2, 3])$ : $f(2) = -3$, $f(3) = 9 - 12 + 1 = -2$. Sur $[2, 3]$, $f$ est croissante, donc $f([2, 3]) = [-3, -2]$.
• $f(J) = f([0, 3])$ : le minimum est $f(2) = -3$, $f(0) = 1$, $f(3) = -2$. Donc $f([0, 3]) = [-3, 1]$.
• $f(K) = f([0, +\infty[)$ : le minimum est $f(2) = -3$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Aussi $f(0) = 1$. Donc $f([0, +\infty[) = [-3, +\infty[$.

3. $-2 \leq f(x) \leq 6 \Leftrightarrow -2 \leq (x - 2)^2 - 3 \leq 6 \Leftrightarrow 1 \leq (x - 2)^2 \leq 9 \Leftrightarrow 1 \leq |x - 2| \leq 3$.

Donc $\begin{cases} 1 \leq x - 2 \leq 3 \\ \text{ou} \\ 1 \leq -(x - 2) \leq 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 \leq x \leq 5 \\ \text{ou} \\ -1 \leq x \leq 1 \end{cases}$

L'ensemble des antecedents est $E = [-1, 1] \cup [3, 5]$.