Image d'intervalles avec racine (11) | Learning OS

Learning3eme annee - Math

Continuite - Manuel scolaire (transcription complete)

Soit $f : x \mapsto \sqrt{x + 3} - 2$ .

Determiner l'ensemble de definition de $f$ .
Tracer la courbe representative $C$ dans un repere orthonorme.
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [2, 3]$ , $J = [0, 5]$ et $K = ]-1, +\infty[$ ?
Determiner l'ensemble des antecedents par $f$ des reels de l'intervalle $[-1, +\infty[$ .

Voir la solution

$f$ est definie lorsque $x + 3 \geq 0$ , soit $x \geq -3$ . Donc $D_f = [-3, +\infty[$ .
$f$ est la courbe de $\sqrt{x}$ translatee de $3$ vers la gauche et $2$ vers le bas. $f(-3) = -2$ , $f(0) = \sqrt{3} - 2 \approx -0{,}27$ , $f(1) = 0$ , $f(6) = 1$ .

$f$ est croissante sur $[-3, +\infty[$ (car $\sqrt{x}$ est croissante).

$f(I) = f([2, 3])$ : $f(2) = \sqrt{5} - 2$ , $f(3) = \sqrt{6} - 2$ . Donc $f([2, 3]) = [\sqrt{5} - 2, \sqrt{6} - 2]$ .
$f(J) = f([0, 5])$ : $f(0) = \sqrt{3} - 2$ , $f(5) = \sqrt{8} - 2 = 2\sqrt{2} - 2$ . Donc $f([0, 5]) = [\sqrt{3} - 2, 2\sqrt{2} - 2]$ .
$f(K) = f(]-1, +\infty[)$ : $f(-1) = \sqrt{2} - 2$ (non atteint) et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ . Donc $f(]-1, +\infty[) = ]\sqrt{2} - 2, +\infty[$ .

$f(x) \geq -1$ : $\sqrt{x + 3} - 2 \geq -1 \Rightarrow \sqrt{x + 3} \geq 1 \Rightarrow x + 3 \geq 1 \Rightarrow x \geq -2$ . L'ensemble des antecedents est $[-2, +\infty[$ .

Méthode

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est croissante, donc les images d'intervalles se calculent directement a partir des bornes.

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