Image d'intervalles avec fonction rationnelle (12)

Soit $f : x \mapsto -\dfrac{2}{x - 1}$ .

Determiner l'ensemble de definition de $f$ .
Tracer la courbe representative $C$ dans un repere orthonorme.
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [2, 4]$ , $J = [-1, 0]$ et $K = ]-\infty, -3[$ ?
Determiner l'ensemble des antecedents par $f$ des reels de l'intervalle $]-\infty, 0[$ .

Voir la solution

$f$ est definie pour $x \neq 1$ . Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
$f$ est une hyperbole de centre $(1, 0)$ . $f$ est croissante sur $]-\infty, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ .

- $f(I) = f([2, 4])$ : $f(2) = -2$ , $f(4) = -\dfrac{2}{3}$ . $f$ est croissante sur $]1, +\infty[$ , donc $f([2, 4]) = [-2, -\dfrac{2}{3}]$ .

$f(J) = f([-1, 0])$ : $f(-1) = -\dfrac{2}{-2} = 1$ , $f(0) = -\dfrac{2}{-1} = 2$ . $f$ est croissante sur $]-\infty, 1[$ , donc $f([-1, 0]) = [1, 2]$ .
$f(K) = f(]-\infty, -3[)$ : $f(-3) = -\dfrac{2}{-4} = \dfrac{1}{2}$ (non atteint), $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (non atteint). Donc $f(]-\infty, -3[) = ]0, \dfrac{1}{2}[$ .

$f(x) < 0$ : $-\dfrac{2}{x - 1} < 0 \Rightarrow \dfrac{2}{x - 1} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ . L'ensemble des antecedents est $]1, +\infty[$ .

Méthode

Pour une fonction homographique $\dfrac{a}{x - c} + d$ : identifier le centre de l'hyperbole, les variations (monotone sur chaque intervalle de continuite), puis determiner les images des intervalles.

Soit $f : x \mapsto -\dfrac{2}{x - 1}$ .

Determiner l'ensemble de definition de $f$ .
Tracer la courbe representative $C$ dans un repere orthonorme.
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [2, 4]$ , $J = [-1, 0]$ et $K = ]-\infty, -3[$ ?
Determiner l'ensemble des antecedents par $f$ des reels de l'intervalle $]-\infty, 0[$ .

Voir la solution

$f$ est definie pour $x \neq 1$ . Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
$f$ est une hyperbole de centre $(1, 0)$ . $f$ est croissante sur $]-\infty, 1[$ et sur $]1, +\infty[$ .

- $f(I) = f([2, 4])$ : $f(2) = -2$ , $f(4) = -\dfrac{2}{3}$ . $f$ est croissante sur $]1, +\infty[$ , donc $f([2, 4]) = [-2, -\dfrac{2}{3}]$ .

$f(J) = f([-1, 0])$ : $f(-1) = -\dfrac{2}{-2} = 1$ , $f(0) = -\dfrac{2}{-1} = 2$ . $f$ est croissante sur $]-\infty, 1[$ , donc $f([-1, 0]) = [1, 2]$ .
$f(K) = f(]-\infty, -3[)$ : $f(-3) = -\dfrac{2}{-4} = \dfrac{1}{2}$ (non atteint), $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (non atteint). Donc $f(]-\infty, -3[) = ]0, \dfrac{1}{2}[$ .

$f(x) < 0$ : $-\dfrac{2}{x - 1} < 0 \Rightarrow \dfrac{2}{x - 1} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ . L'ensemble des antecedents est $]1, +\infty[$ .

Méthode

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