Image d'intervalles par x^3 (13)

Continuite - Manuel scolaire (transcription complete)

Soit $f$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3$ .

Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [1, 3]$ , $J = [2, 5]$ et $K = ]-6, -1]$ ?

Voir la solution

Pour tous reels $a$ et $b$ : $a \leq b \Rightarrow a^3 \leq b^3 \Rightarrow f(a) \leq f(b)$ . Donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .
Comme $f$ est croissante :

$f(I) = f([1, 3]) = [f(1), f(3)] = [1, 27]$ .
$f(J) = f([2, 5]) = [f(2), f(5)] = [8, 125]$ .
$f(K) = f(]-6, -1]) = [f(-6), f(-1)] = [-216, -1]$ . Mais $-6$ est exclu, donc $f(K) = ]-216, -1]$ .

Méthode

La fonction $x \mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Pour une fonction croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ et $f(]a, b]) = ]f(a), f(b)]$ .

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$f(I) = f([1, 3]) = [f(1), f(3)] = [1, 27]$ .
$f(J) = f([2, 5]) = [f(2), f(5)] = [8, 125]$ .
$f(K) = f(]-6, -1]) = [f(-6), f(-1)] = [-216, -1]$ . Mais $-6$ est exclu, donc $f(K) = ]-216, -1]$ .

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La fonction $x \mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Pour une fonction croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ et $f(]a, b]) = ]f(a), f(b)]$ .

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