Image d'intervalles par -x^3 - 3x (14)

Soit $f$ la fonction definie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -x^3 - 3x$ .

Etudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Quelles sont les images par $f$ des intervalles $I = [2, 3]$ , $J = [-5, -3]$ et $K = ]3, 4]$ ?

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$a \leq b \Rightarrow a^3 \leq b^3 \Rightarrow -b^3 \leq -a^3 \quad (1)$

$a \leq b \Rightarrow -3b \leq -3a \quad (2)$

En additionnant $(1)$ et $(2)$ membre a membre : $-b^3 - 3b \leq -a^3 - 3a$ , soit $f(b) \leq f(a)$ .

Par suite $f$ est decroissante sur $\mathbb{R}$ .

$f(I) = f([2, 3])$ : $f(2) = -8 - 6 = -14$ , $f(3) = -27 - 9 = -36$ . Donc $f([2, 3]) = [-36, -14]$ .
$f(J) = f([-5, -3])$ : $f(-5) = 125 + 15 = 140$ , $f(-3) = 27 + 9 = 36$ . Donc $f([-5, -3]) = [36, 140]$ .
$f(K) = f(]3, 4])$ : $f(3) = -36$ (non atteint), $f(4) = -64 - 12 = -76$ . Donc $f(]3, 4]) = [-76, -36[$ .

Méthode

Pour une fonction decroissante, les images sont inversees : $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$ .