1. $f$ est definie lorsque $2x - 1 \geq 0$, soit $x \geq \dfrac{1}{2}$. Donc $D_f = \left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$.

2. Sur $\left]\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$ : $-\dfrac{1}{2}x$ est affine donc continue. $2x - 1$ est un polynome positif et continu, donc $\sqrt{2x - 1}$ est continue par le theoreme de $\sqrt{f}$. Par somme, $f$ est continue sur $\left]\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$. De plus $f$ est continue a droite en $\dfrac{1}{2}$, donc $f$ est continue sur $\left[\dfrac{1}{2}, +\infty\right[$.

3. $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{4} + \sqrt{0} = -\dfrac{1}{4} < 0$ et $f(1) = -\dfrac{1}{2} + \sqrt{1} = \dfrac{1}{2} > 0$.

$f$ est continue sur $\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot f(1) < 0$. Par le TVI, l'equation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans $\left[\dfrac{1}{2}, 1\right]$.

4. On calcule : $f(0{,}6) = -0{,}3 + \sqrt{0{,}2} \approx -0{,}3 + 0{,}447 = 0{,}147 > 0$. $f(0{,}5) = -0{,}25 < 0$. Donc $\alpha \in [0{,}5 \; ; \; 0{,}6]$, soit $\alpha \approx 0{,}5$ a $0{,}1$ pres par defaut.