TVI - equation x^3 + 4x + 1 = 0 (16)

Soit $f : x \mapsto x^3 + 4x + 1$ .

Justifier la continuite de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'equation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ dans $[-1, 0]$ .
Donner une valeur approchee par defaut a $0{,}1$ pres de $\alpha$ .

Voir la solution

$f$ est un polynome, donc continue sur $\mathbb{R}$ .
$f(-1) = -1 - 4 + 1 = -4 < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ .

$f$ est continue sur $[-1, 0]$ et $f(-1) \cdot f(0) < 0$ . Par le TVI, l'equation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans $[-1, 0]$ .

$f(-0{,}3) = -0{,}027 - 1{,}2 + 1 = -0{,}227 < 0$ . $f(-0{,}2) = -0{,}008 - 0{,}8 + 1 = 0{,}192 > 0$ . Donc $\alpha \in [-0{,}3 \; ; \; -0{,}2]$ , soit $\alpha \approx -0{,}3$ a $0{,}1$ pres par defaut.

Méthode

Etapes du TVI : (1) verifier la continuite, (2) calculer $f$ aux bornes et constater le changement de signe, (3) conclure. Pour la valeur approchee, subdiviser l'intervalle par pas de $0{,}1$ .

Soit $f : x \mapsto x^3 + 4x + 1$ .

Justifier la continuite de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'equation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ dans $[-1, 0]$ .
Donner une valeur approchee par defaut a $0{,}1$ pres de $\alpha$ .

Voir la solution

$f$ est un polynome, donc continue sur $\mathbb{R}$ .
$f(-1) = -1 - 4 + 1 = -4 < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ .

$f$ est continue sur $[-1, 0]$ et $f(-1) \cdot f(0) < 0$ . Par le TVI, l'equation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans $[-1, 0]$ .

$f(-0{,}3) = -0{,}027 - 1{,}2 + 1 = -0{,}227 < 0$ . $f(-0{,}2) = -0{,}008 - 0{,}8 + 1 = 0{,}192 > 0$ . Donc $\alpha \in [-0{,}3 \; ; \; -0{,}2]$ , soit $\alpha \approx -0{,}3$ a $0{,}1$ pres par defaut.

Méthode

Etapes du TVI : (1) verifier la continuite, (2) calculer $f$ aux bornes et constater le changement de signe, (3) conclure. Pour la valeur approchee, subdiviser l'intervalle par pas de $0{,}1$ .

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