Signe local d'une fonction continue (Situation 1)

On a represente la courbe d'une fonction $g$ definie sur un intervalle ouvert.

Soit $a$ un reel tel que $g$ est continue en $a$ et $g(a) > 0$ . a. Representer l'ensemble des points $M(x, g(x))$ tels que $\dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < \dfrac{3}{2}g(a)$ . b. Montrer qu'il existe un intervalle $]a - h, a + h[$ tel que pour tout $x \in ]a - h, a + h[$ , on a $g(x) \in \left]\dfrac{1}{2}g(a), \dfrac{3}{2}g(a)\right[$ . c. En deduire que la fonction $g$ reste strictement positive sur cet intervalle.
Soit $b$ un reel tel que $g$ est continue en $b$ et $g(b) < 0$ . Montrer qu'il existe un intervalle $]b - h, b + h[$ sur lequel $g$ reste strictement negative.

Voir la solution

b. Posons $\beta = \dfrac{1}{2}g(a) > 0$ . Comme $g$ est continue en $a$ , pour $\beta > 0$ , il existe $\alpha > 0$ tel que si $|x - a| < \alpha$ , alors $|g(x) - g(a)| < \beta = \dfrac{1}{2}g(a)$ .

Cela signifie $g(a) - \dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < g(a) + \dfrac{1}{2}g(a)$ , soit $\dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < \dfrac{3}{2}g(a)$ .

On prend $h = \alpha$ . L'intervalle $]a - h, a + h[$ convient.

c. Sur $]a - h, a + h[$ , on a $g(x) > \dfrac{1}{2}g(a)$ . Comme $g(a) > 0$ , on a $\dfrac{1}{2}g(a) > 0$ , donc $g(x) > 0$ sur tout l'intervalle.

De maniere analogue, on pose $\beta = \dfrac{1}{2}|g(b)| = -\dfrac{1}{2}g(b) > 0$ . Par continuite de $g$ en $b$ , il existe $h > 0$ tel que pour $|x - b| < h$ , on a $|g(x) - g(b)| < -\dfrac{1}{2}g(b)$ .

Cela donne $g(b) + \dfrac{1}{2}g(b) < g(x) < g(b) - \dfrac{1}{2}g(b)$ , soit $\dfrac{3}{2}g(b) < g(x) < \dfrac{1}{2}g(b) < 0$ .

Donc $g$ reste strictement negative sur $]b - h, b + h[$ .

Méthode

Theoreme du signe local : si $f$ est continue en $a$ et $f(a) \neq 0$ , alors $f$ garde le signe de $f(a)$ au voisinage de $a$ . La preuve utilise directement la definition de la continuite avec un choix judicieux de $\beta$ .

On a represente la courbe d'une fonction $g$ definie sur un intervalle ouvert.

Soit $a$ un reel tel que $g$ est continue en $a$ et $g(a) > 0$ . a. Representer l'ensemble des points $M(x, g(x))$ tels que $\dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < \dfrac{3}{2}g(a)$ . b. Montrer qu'il existe un intervalle $]a - h, a + h[$ tel que pour tout $x \in ]a - h, a + h[$ , on a $g(x) \in \left]\dfrac{1}{2}g(a), \dfrac{3}{2}g(a)\right[$ . c. En deduire que la fonction $g$ reste strictement positive sur cet intervalle.
Soit $b$ un reel tel que $g$ est continue en $b$ et $g(b) < 0$ . Montrer qu'il existe un intervalle $]b - h, b + h[$ sur lequel $g$ reste strictement negative.

Voir la solution

b. Posons $\beta = \dfrac{1}{2}g(a) > 0$ . Comme $g$ est continue en $a$ , pour $\beta > 0$ , il existe $\alpha > 0$ tel que si $|x - a| < \alpha$ , alors $|g(x) - g(a)| < \beta = \dfrac{1}{2}g(a)$ .

Cela signifie $g(a) - \dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < g(a) + \dfrac{1}{2}g(a)$ , soit $\dfrac{1}{2}g(a) < g(x) < \dfrac{3}{2}g(a)$ .

On prend $h = \alpha$ . L'intervalle $]a - h, a + h[$ convient.

c. Sur $]a - h, a + h[$ , on a $g(x) > \dfrac{1}{2}g(a)$ . Comme $g(a) > 0$ , on a $\dfrac{1}{2}g(a) > 0$ , donc $g(x) > 0$ sur tout l'intervalle.

De maniere analogue, on pose $\beta = \dfrac{1}{2}|g(b)| = -\dfrac{1}{2}g(b) > 0$ . Par continuite de $g$ en $b$ , il existe $h > 0$ tel que pour $|x - b| < h$ , on a $|g(x) - g(b)| < -\dfrac{1}{2}g(b)$ .

Cela donne $g(b) + \dfrac{1}{2}g(b) < g(x) < g(b) - \dfrac{1}{2}g(b)$ , soit $\dfrac{3}{2}g(b) < g(x) < \dfrac{1}{2}g(b) < 0$ .

Donc $g$ reste strictement negative sur $]b - h, b + h[$ .

Méthode

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