1. $f$ est un polynome, donc continue sur $\mathbb{R}$.

2. a. $f(-3) = \dfrac{81}{2} + 27 - 54 - 15 + 10 = 40{,}5 + 27 - 54 - 15 + 10 = 8{,}5 > 0$. $f(-2) = \dfrac{16}{2} + 8 - 24 - 10 + 10 = 8 + 8 - 24 - 10 + 10 = -8 < 0$. $f(-3) \cdot f(-2) < 0$, par le TVI, solution dans $[-3, -2]$.

b. $f(-1{,}5) = \dfrac{1}{2}(5{,}0625) - (-3{,}375) - 6(2{,}25) + 5(-1{,}5) + 10 = 2{,}53 + 3{,}375 - 13{,}5 - 7{,}5 + 10 = -5{,}095 < 0$. $f(-1) = \dfrac{1}{2} + 1 - 6 - 5 + 10 = 0{,}5 > 0$. $f(-1{,}5) \cdot f(-1) < 0$, par le TVI, solution dans $[-1{,}5, -1]$.

c. $f(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - 6 + 5 + 10 = 8{,}5 > 0$. $f(2) = 8 - 8 - 24 + 10 + 10 = -4 < 0$. $f(1) \cdot f(2) < 0$, par le TVI, solution dans $[1, 2]$.

d. $f(4) = 128 - 64 - 96 + 20 + 10 = -2 < 0$. $f(4{,}5) = \dfrac{1}{2}(410{,}0625) - 91{,}125 - 121{,}5 + 22{,}5 + 10 = 205{,}03 - 91{,}125 - 121{,}5 + 22{,}5 + 10 = 24{,}9 > 0$. $f(4) \cdot f(4{,}5) < 0$, par le TVI, solution dans $[4, 4{,}5]$.

3. L'equation $f(x) = 0$ est du $4$eme degre donc elle admet au plus quatre solutions. Comme $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ et $\alpha_4$ sont des solutions distinctes de l'equation $f(x) = 0$ (dans des intervalles disjoints), l'equation $f(x) = 0$ admet exactement quatre solutions.

4. Par dichotomie :

• $f(-2{,}8) \times f(-2{,}7) < 0$, donc $-2{,}8 < \alpha_1 < -2{,}7$.
• $f(-1{,}1) \times f(-1) = (-0{,}69)(0{,}5) < 0$, donc $-1{,}1 < \alpha_2 < -1$.
• $f(1{,}7) \times f(1{,}8) = (0{,}42)(-1{,}02) < 0$, donc $1{,}7 < \alpha_3 < 1{,}8$.
• $f(4) \times f(4{,}1) = (-2)(2{,}007) < 0$, donc $4 < \alpha_4 < 4{,}1$.