1. $\zeta_f$ est une parabole de sommet $S(0, 1)$ d'axe de systeme $(S, \vec{j})$.

| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | |-----|-----|-----|-----| | $f(x)$ | $1$ | $2$ | $5$ |

$\zeta_g$ est une hyperbole d'asymptotes $x = 0$ et $y = 0$, de centre de symetrie $O(0, 0)$.

| $x$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | |-----|-----|-----|-----|-----| | $g(x)$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{4}$ |

2. a. $f$ est une fonction polynome donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

b. $g$ est une fonction rationnelle donc continue sur $\mathbb{R}^*$.

3. $\zeta_f$ et $\zeta_g$ se coupent en un seul point $A(-0{,}8 \; ; \; 1{,}4)$ donc $f(x) = g(x)$ admet qu'une seule solution dans $[-2, 2]$.

4. $f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 + 1 = -\dfrac{1}{x} \Leftrightarrow x^3 + x + 1 = 0$ (pour $x \neq 0$).

On pose $h(x) = x^3 + x + 1$. $h$ est continue sur $[-2, 2]$ (polynome). $h(-2) = -8 - 2 + 1 = -9 < 0$ et $h(2) = 8 + 2 + 1 = 11 > 0$.

$h(-2) \times h(2) < 0$, donc par le TVI, l'equation $h(x) = 0$ admet au moins une solution dans $[-2, 2]$. Notons $\alpha$ cette solution.

Par balayage de $[-2, 2]$ par pas de $0{,}1$ avec la calculatrice : $h(-0{,}7) < 0$ et $h(-0{,}6) > 0$ $\Rightarrow$ $-0{,}7 < \alpha < -0{,}6$.

On affine : $h(-0{,}69) < 0$ et $h(-0{,}68) > 0$ $\Rightarrow$ $-0{,}69 < \alpha < -0{,}68$.

Donc $\alpha \approx -0{,}69$ a $10^{-2}$ pres par defaut.