a. $u : x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$. $v : x \mapsto x$ est continue sur $\mathbb{R}$. Alors $f = u + v$ est continue sur $[0, +\infty[$.

b. $u$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$ et $v$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Donc $f = u + v$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

c. $f$ est continue sur $[3, 4]$ et $f(3) = \sqrt{3} + 3 \approx 4{,}7$ et $f(4) = \sqrt{4} + 4 = 6$.

Comme $4{,}7 < 5 < 6$, $5$ est compris entre $f(3)$ et $f(4)$. D'apres le theoreme des valeurs intermediaires, il existe au moins un $\alpha \in [3, 4]$ tel que $f(\alpha) = 5$.