1. a. $f(x) = x^2\sqrt{x - 3}$. Il faut que $x - 3 \geq 0$, d'ou $D = [3, +\infty[$.

b. $x \mapsto x - 3$ est une fonction polynome continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[3, +\infty[$ ou elle est positive. Donc $x \mapsto \sqrt{x - 3}$ est continue sur $[3, +\infty[$. Et $x \mapsto x^2$ est une fonction polynome continue sur $\mathbb{R}$. Finalement $f$ est continue sur $D$ (produit de fonctions continues).

c. Soient $a$ et $b$ deux reels de $D$ tel que $a \geq b$. Alors $a - 3 \geq b - 3$ donc $\sqrt{a - 3} \geq \sqrt{b - 3}$ et $a^2 \geq b^2$. Par suite $a^2\sqrt{a - 3} \geq b^2\sqrt{b - 3}$. Ainsi $f$ est strictement croissante sur $D$.

$f(3) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

2. a. D'apres le tableau de variation, $4 \in [0, +\infty[$ donc l'equation $f(x) = 4$ admet une unique solution $\alpha \in [3, +\infty[$ (car $f$ est strictement croissante).

b. $f(3{,}17) = (3{,}17)^2 \cdot \sqrt{0{,}17} \approx 10{,}049 \times 0{,}412 \approx 4{,}14 > 4$ et $f(3{,}16) \approx 3{,}99 < 4$.

Donc $3{,}16 < \alpha < 3{,}17$.