On pose $f(x) = x^3 + \dfrac{3}{2}x^2 + 1$. $f$ est une fonction polynome donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[-2, 1]$.

$f(-2) = -8 + \dfrac{3}{2} \cdot 4 + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 < 0$.

$f(1) = 1 + \dfrac{3}{2} + 1 = \dfrac{7}{2} > 0$.

$f(-2) \times f(1) = -1 \times \dfrac{7}{2} = -\dfrac{7}{2} < 0$.

Par le TVI, il existe au moins un $c \in ]-2, 1[$ tel que $f(c) = 0$. Donc l'equation admet au moins une solution dans $[-2, 1]$.