$f(x) = x^3 - 4x + 5$ est une fonction polynome donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[-2, 3]$.

$f(-2) = -8 + 8 + 5 = 5$ et $f(3) = 27 - 12 + 5 = 20$.

Or $5 < 8 < 20$, donc $8$ est compris entre $f(-2)$ et $f(3)$.

D'apres le theoreme des valeurs intermediaires, il existe au moins un reel $\alpha \in [-2, 3]$ tel que $f(\alpha) = 8$. Ainsi $\alpha$ est une solution de l'equation $f(x) = 8$.