1. Pour $x \in ]-\infty, -1[$ :

Tableau de signes de $x + 2$ :

• Si $x \in ]-\infty, -2]$ : $x + 2 \leq 0$, donc $|x + 2| = -(x + 2)$ et $f(x) = 2(-(x + 2)) - x + 2 = -2x - 4 - x + 2 = -3x - 2$.
• Si $x \in ]-2, -1[$ : $x + 2 > 0$, donc $|x + 2| = x + 2$ et $f(x) = 2(x + 2) - x + 2 = 2x + 4 - x + 2 = x + 6$.

Pour $x \in [-1, 2[$ :

• Si $x \in [-1, 0[$ : $E(x) = -1$, donc $f(x) = (2x - 1)(-1) + x = -2x + 1 + x = -x + 1$.
• Si $x \in [0, 1[$ : $E(x) = 0$, donc $f(x) = (2x - 1)(0) + x = x$.
• Si $x \in [1, 2[$ : $E(x) = 1$, donc $f(x) = (2x - 1)(1) + x = 2x - 1 + x = 3x - 1$.

Donc $f$ est une fonction affine par intervalles :

$f(x) = \begin{cases} -3x - 2 & \text{si } x \in ]-\infty, -2] \\ x + 6 & \text{si } x \in ]-2, -1[ \\ -x + 1 & \text{si } x \in [-1, 0[ \\ x & \text{si } x \in [0, 1[ \\ 3x - 1 & \text{si } x \in [1, 2[ \end{cases}$

2. Valeurs aux points clés : $f(-3) = 7$, $f(-2) = 4$, $f(-1) = 5$ (par $x + 6$, non atteint), $f(-1) = 2$ (valeur effective), $f(0) = 1$ (par $-x+1$, non atteint), $f(0) = 0$ (valeur effective), $f(1) = 1$ (par $x$, non atteint), $f(1) = 2$ (valeur effective).

3. La courbe de $f$ :

• En $x = -2$ : pas de rupture, donc $f$ est continue en $-2$. En effet, $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -3(-2) - 2 = 4$ et $\lim_{x \to -2^+} f(x) = -2 + 6 = 4 = f(-2)$.

• En $x = -1$ : rupture (saut de $5$ à $2$), donc $f$ n'est pas continue en $-1$. En effet, $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1 + 6 = 5 \neq 2 = f(-1)$.

• En $x = 0$ : rupture (saut de $1$ à $0$), donc $f$ n'est pas continue en $0$. En effet, $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -0 + 1 = 1 \neq 0 = f(0)$.

• En $x = 1$ : rupture (saut de $1$ à $2$), donc $f$ n'est pas continue en $1$. En effet, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 \neq 2 = f(1)$.