1. $x \mapsto -x + 2$ est une fonction affine donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier continue sur $]-\infty, -1]$.

$x \mapsto x^2 - 2x$ est une fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier continue sur $]-1, 2[$.

$x \mapsto \sqrt{x + 2}$ est continue sur $[-2, +\infty[$ et $[2, +\infty[ \subset [-2, +\infty[$, donc $f$ est continue sur $[2, +\infty[$.

2. a.

b. $\mathcal{C}_f$ présente une rupture au niveau du point d'abscisse $2$.

En effet : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 2x) = 0$ et $f(2) = \sqrt{4} = 2$. Comme $0 \neq 2$, $f$ n'est pas continue en $2$, donc $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$.

c. $f([-4, -2])$ : sur $[-4, -2] \subset ]-\infty, -1]$, $f(x) = -x + 2$ est décroissante. $f(-4) = 6$, $f(-2) = 4$. Donc $f([-4, -2]) = [4, 6]$.

$f(]-1, 2[)$ : sur $]-1, 2[$, $f(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$.

$f$ est décroissante sur $]-1, 1]$ puis croissante sur $[1, 2[$. Le minimum est $f(1) = -1$ et $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 3$ (non atteint). Donc $f(]-1, 2[) = [-1, 3[$.