Théorème

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$f$ est continue en $a$ , si et seulement si, $f$ est continue à droite et à gauche en $a$ .

Théorème

Soit $f$ une fonction définie et positive sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ .

Si $f$ est continue à droite en $a$ , alors $\sqrt{f}$ est continue à droite en $a$ .
Si $f$ est continue à gauche en $a$ , alors $\sqrt{f}$ est continue à gauche en $a$ .

Définition

Une fonction définie sur un intervalle $]a, b[$ est dite continue sur $]a, b[$ si elle est continue en tout réel de $]a, b[$ .
Une fonction définie sur un intervalle $]a, b]$ est dite continue sur $]a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$ et continue à gauche en $b$ .
Une fonction définie sur un intervalle $[a, b[$ est dite continue sur $[a, b[$ si elle est continue sur $]a, b[$ et continue à droite en $a$ .
Une fonction définie sur un intervalle $[a, b]$ est dite continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$ , continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$ .

Conséquences

Si une fonction est continue sur un intervalle $I$ , alors elle est continue sur tout intervalle inclus dans $I$ .
Toute fonction polynôme est continue sur tout intervalle contenu dans $\mathbb{R}$ .
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle contenu dans son ensemble de définition.