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Continuite - XY Plus (transcription complete)

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Continuite - XY Plus (transcription complete)

Continuité - définition graphique, fonctions usuelles et opérations

Continuite - XY Plus (transcription complete)

1. Continuité en un réel graphiquement

Lorsque la représentation graphique de $f$ sur un intervalle ouvert $I$ met en évidence un tracé continu de la courbe, la fonction $f$ est continue en tout réel $a$ de $I$ .
Lorsqu'on observe une rupture (ou un saut) dans le tracé de $f$ de part et d'autre d'un point $A(a, f(a))$ bien que d'abscisse appartenant à son ensemble de définition, alors la fonction $f$ est discontinue en $a$ .

2. Continuité de certaines fonctions usuelles

Fonctions continues

Toute fonction constante est continue en tout réel $a$ .
La fonction $x \mapsto x$ est continue en tout réel $a$ .
Toute fonction linéaire est continue en tout réel $a$ .
Toute fonction affine est continue en tout réel $a$ .
La fonction $x \mapsto x^2$ est continue en tout réel $a$ .
Toute fonction polynôme est continue en tout réel $a$ .
La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est continue en tout réel non nul $a$ .
Toute fonction rationnelle est continue en tout réel où elle est définie.

3. Opérations algébriques sur les fonctions continues

Opérations

Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle ouvert $I$ . Soit $a$ un réel de $I$ et $k$ un réel.

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ alors les fonctions $f + g$ , $fg$ et $kf$ sont continues en $a$ .
Si $f$ est continue en $a$ et si $f(a) \neq 0$ alors la fonction $\dfrac{1}{f}$ est continue en $a$ .
Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ et si $g(a) \neq 0$ alors la fonction $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$ .

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