Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

Existence (TVI) : $f(0) = -1 < 0$, $f(1) = 1 > 0$. Par le TVI, il existe une racine dans $]0; 1[$.

Unicite : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$. $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc elle ne peut s'annuler qu'une seule fois.