Dérivée d'un produit et d'un quotient

1. Dérivée de $f(x) = (2x-1)(x^2+3)$

Posons $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = x^2 + 3$.

Calculons les dérivées :

$u'(x) = 2 \quad \text{et} \quad v'(x) = 2x$

Appliquons la formule $(uv)' = u'v + uv'$ :

$f'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1)(2x)$

$= 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x$

$= 6x^2 - 2x + 6$

2. Dérivée de $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$

Posons $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x - 2$.

Calculons les dérivées :

$u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = 1$

Appliquons la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ :

$g'(x) = \frac{1 \times (x-2) - (x+1) \times 1}{(x-2)^2}$

$= \frac{x - 2 - x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$

Signe de $g'(x)$ :

Le numérateur est $-3 < 0$ (toujours négatif).

Le dénominateur $(x-2)^2 > 0$ pour tout $x \neq 2$ (carré toujours positif).

Donc : $g'(x) = \frac{-3}{(x-2)^2} < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty, 2[$ et sur $]2, +\infty[$.

3. Dérivée de $h(x) = \frac{x}{x^2+1}$

Posons $u(x) = x$ et $v(x) = x^2 + 1$.

Calculons les dérivées :

$u'(x) = 1 \quad \text{et} \quad v'(x) = 2x$

Appliquons la formule :

$h'(x) = \frac{1 \times (x^2 + 1) - x \times 2x}{(x^2 + 1)^2}$

$= \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

On peut factoriser le numérateur :

$h'(x) = \frac{(1-x)(1+x)}{(x^2 + 1)^2}$