1. Domaine de definition

La fonction $f$ est definie si et seulement si le denominateur est non nul :

$x \neq 0$

Donc :

$D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$

2. Parite de $f$

Le domaine $D_f = \mathbb{R}^*$ est symetrique par rapport a 0.

Calculons $f(-x)$ pour $x \in D_f$ :

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{-x} = \frac{x^2 - 1}{-x} = -\frac{x^2 - 1}{x} = -f(x)$

On a $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x \in D_f$.

Donc $f$ est impaire.

3. Forme simplifiee

$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = x - \frac{1}{x}$

pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.

4. Sens de variation sur $]0, +\infty[$

Soit $0 < x_1 < x_2$. Calculons :

$f(x_2) - f(x_1) = \left(x_2 - \frac{1}{x_2}\right) - \left(x_1 - \frac{1}{x_1}\right)$

$= x_2 - x_1 - \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1}$

$= (x_2 - x_1) + \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right)$

$= (x_2 - x_1) + \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$

$= (x_2 - x_1)\left(1 + \frac{1}{x_1 x_2}\right)$

Analysons le signe :

• $x_2 - x_1 > 0$ (car $x_1 < x_2$)
• $x_1 > 0$ et $x_2 > 0$ donc $x_1 x_2 > 0$, d'ou $\frac{1}{x_1 x_2} > 0$
• Donc $1 + \frac{1}{x_1 x_2} > 1 > 0$

Par produit de deux nombres strictement positifs :

$f(x_2) - f(x_1) > 0$

Donc $f(x_2) > f(x_1)$.

Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

5. Variations sur $]-\infty, 0[$

Comme $f$ est impaire et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, elle est egalement strictement croissante sur $]-\infty, 0[$.

Justification : Soit $x_1 < x_2 < 0$. Alors $0 < -x_2 < -x_1$.

Comme $f$ est croissante sur $]0, +\infty[$ :

$f(-x_2) < f(-x_1)$

Comme $f$ est impaire :

$-f(x_2) < -f(x_1) \iff f(x_2) > f(x_1)$

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty, 0[$.

6. Tableau de variations

| $x$ | $-\infty$ | | $0$ | | $+\infty$ | |----------|-----------|----------|-----|----------|-----------| | $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $\Vert$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |

(Le symbole $\Vert$ indique que $f$ n'est pas definie en 0)

7. Extremums

D'apres le tableau de variations :

• $f(x) \to -\infty$ quand $x \to -\infty$
• $f(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$
• $f$ est strictement croissante sur chaque composante de son domaine

Conclusion : La fonction $f$ n'admet ni maximum ni minimum sur $D_f$.