Continuite en un point

Soit $f$ une fonction definie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

$f$ est continue en $a$ si et seulement si :

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Operations sur les fonctions continues

Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ , alors :

$f + g$ , $f - g$ , $f \times g$ sont continues en $a$
$\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$ si $g(a) \neq 0$
$g \circ f$ est continue en $a$

Remarque

Les fonctions polynomiales, rationnelles (hors annulation du denominateur), $\sqrt{x}$ , $|x|$ , $\sin x$ , $\cos x$ sont continues sur leur domaine de definition.

Prolongement par continuite

Soit $f$ definie sur $I$ sauf peut-etre en $a \in I$ .

Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ existe et est finie, on definit :

$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ \ell & \text{si } x = a \end{cases}$

La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $a$ .

Theoreme des valeurs intermediaires

Theoreme des valeurs intermediaires (TVI)

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ .

Pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que :

$f(c) = k$

Corollaire — zeros d'une fonction

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(a) \times f(b) < 0$ , alors il existe au moins un $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$ .

TVI + monotonie stricte = unicite

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l'equation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$ .

Attention

Toujours verifier la continuite avant d'appliquer le TVI. Le theoreme est faux si $f$ n'est pas continue.