1. $f$ est une fonction polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$.

2. $f$ est rationnelle et définie sur $\mathbb{R}$ car $2x^2 + 5 > 0$ pour tout $x$ ($\Delta < 0$ et $a > 0$). Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

3. La fonction $f_1 : x \mapsto x^3 + 1$ est polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$.

La fonction $x \mapsto x^2 + 3x + 5$ est polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$. De plus, pour tout $x$, $x^2 + 3x + 5 > 0$ ($\Delta = 9 - 20 = -11 < 0$ et $a > 0$), donc la fonction $f_2 : x \mapsto \sqrt{x^2 + 3x + 5}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

$f = f_1 + f_2$, somme de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

4. La fonction $g : x \mapsto x^2 - 3x + 2$ est polynôme donc continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $f = |g|$ est continue sur $\mathbb{R}$.

5. La fonction $x \mapsto x + 3$ est affine donc continue sur $\mathbb{R}$, d'où la fonction $f_1 : x \mapsto |x + 3|$ est continue sur $\mathbb{R}$.

La fonction $x \mapsto 5 - x$ est affine donc continue sur $\mathbb{R}$, d'où la fonction $f_2 : x \mapsto |5 - x|$ est continue sur $\mathbb{R}$.

$f = f_1 - f_2$, différence de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

6. La fonction $x \mapsto x + 5$ est affine, continue sur $\mathbb{R}$ d'où $f_1 : x \mapsto |x + 5|$ est continue sur $\mathbb{R}$.

La fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$. De plus $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x$, donc la fonction $f_2 : x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

De plus $f_2(x) \neq 0$ pour tout $x$, d'où $f = \dfrac{f_1}{f_2}$ est continue sur $\mathbb{R}$.