Continuité par morceaux - trois intervalles

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 < x < 3 \\ \sqrt{x - 1} & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$

Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
a. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]-\infty, 0]$ . b. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]0, 3[$ . c. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[3, +\infty[$ .
Justifier à l'aide du graphique que la fonction $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

La restriction de $f$ à $]-\infty, 0]$ est la demi-droite passant par $A(0, -1)$ et $B(-2, -3)$ .

La restriction de $f$ à $]0, 3[$ est le segment ouvert $]C, D[$ avec $C(0, -4)$ et $D(3, 2)$ .

La restriction de $f$ à $[3, +\infty[$ est la courbe $\mathcal{C}_1$ de $x \mapsto \sqrt{x - 1}$ .

a. La fonction $x \mapsto x - 1$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $]-\infty, 0]$ . D'où $f$ est continue sur $]-\infty, 0]$ .

b. La fonction $x \mapsto 2x - 4$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $]0, 3[$ . D'où $f$ est continue sur $]0, 3[$ .

c. La fonction $x \mapsto \sqrt{x - 1}$ est continue sur $[1, +\infty[$ et $[3, +\infty[ \subset [1, +\infty[$ . D'où $f$ est continue sur $[3, +\infty[$ .

La représentation graphique met en évidence un saut du tracé à droite du point $A(0, f(0))$ .

En effet : $f(0) = 0 - 1 = -1$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 4) = -4 \neq f(0)$ .

Donc $f$ n'est pas continue en $0$ , et $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Méthode

Pour une fonction définie par morceaux :

Étudier la continuité sur chaque morceau séparément (fonctions usuelles)
Vérifier la continuité aux points de raccordement en comparant $f(a)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $\lim_{x \to a^+} f(x)$

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 < x < 3 \\ \sqrt{x - 1} & \text{si } x \geq 3 \end{cases}$

Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .
a. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]-\infty, 0]$ . b. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $]0, 3[$ . c. Justifier que la fonction $f$ est continue sur $[3, +\infty[$ .
Justifier à l'aide du graphique que la fonction $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Voir la solution

La restriction de $f$ à $]-\infty, 0]$ est la demi-droite passant par $A(0, -1)$ et $B(-2, -3)$ .

La restriction de $f$ à $]0, 3[$ est le segment ouvert $]C, D[$ avec $C(0, -4)$ et $D(3, 2)$ .

La restriction de $f$ à $[3, +\infty[$ est la courbe $\mathcal{C}_1$ de $x \mapsto \sqrt{x - 1}$ .

a. La fonction $x \mapsto x - 1$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $]-\infty, 0]$ . D'où $f$ est continue sur $]-\infty, 0]$ .

b. La fonction $x \mapsto 2x - 4$ est un polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $]0, 3[$ . D'où $f$ est continue sur $]0, 3[$ .

c. La fonction $x \mapsto \sqrt{x - 1}$ est continue sur $[1, +\infty[$ et $[3, +\infty[ \subset [1, +\infty[$ . D'où $f$ est continue sur $[3, +\infty[$ .

La représentation graphique met en évidence un saut du tracé à droite du point $A(0, f(0))$ .

En effet : $f(0) = 0 - 1 = -1$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x - 4) = -4 \neq f(0)$ .

Donc $f$ n'est pas continue en $0$ , et $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ .

Méthode

Pour une fonction définie par morceaux :

Étudier la continuité sur chaque morceau séparément (fonctions usuelles)
Vérifier la continuité aux points de raccordement en comparant $f(a)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $\lim_{x \to a^+} f(x)$

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